Baiklah, mari kita mulai.
Inti dari persoalan mekanika adalah memecahkan persamaan Newton
\[m\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\vec{F}\]
Untuk kasus 1-D kita memiliki
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F\]
Gaya itu sendiri bisa merupakan besaran konstan, besaran yang bergantung waktu, kecepatan, posisi, atau kombinasinya. Contohnya
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F_{0}\]
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(t)\]
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(v)\]
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(x)\]
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(t,x)\]
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(t,v,x)\]
Setelah bentuk untuk gaya diketahui maka yang kita lakukan adalah menyelesaikan persamaan diferensial orde-2 di atas, sehingga diperoleh posisi sebagai fungsi waktu.
Jika posisi sebagai fungsi waktu diketahui maka semua besaran mekanika yang lainnya dapat ditentukan seperti
Laju : $v=\frac{dx}{dt}$
Momentum : $p=mv$
Energi kinetik : $K=\frac{1}{2}mv^{2}$
Energi potensial : $U=\frac{1}{2}kx^{2}$ untuk pegas atau $U=mgx$ untuk gravitasi.
Jadi, secara kosep, tidak ada yang rumit dengan mekanika. Mekanika sangat mudah dipahami.
Yang dilakukan sebanarnya adalah: bagaimana menemukan persamaan posisi sebagai fungsi waktu. Hanya saya, yang membuat sulit adalah, jika gaya diketahui, maka seringkali tidak selalu mudah menyelesaikan persamaan diferensial.
Jika F sederhana, kita dapat menyelesaikan dengan mudah. Jika F agak rumit maka cara langsung (analitik) sering kali gagal dilakukan. Untuk kondisi ini, biasanya metode aproksimasi atau numerik sering ditempuh. Tetapi tetap tujuan utamanya adalah mencari persamaan posisi sebagai fungsi waktu.
Contoh 1:
Misalkan diberikan $F=F_{0}=$ konstan maka kita dapat mencari fungsi posisi dengan cukup mudah
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F\]
\[m\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=F_{0}\]
\[m\frac{dx}{dt}=F_{0}t+C_{1}\]
\[m\int \frac{dx}{dt}dt=F_{0}\int tdt+C_{1}\int dt\]
\[mx=F_{0}\frac{t^{2}}{2}+C_{1}t+C_{2}\]
Diperoleh
\[x=\frac{1}{2}\frac{F_{0}}{m}t^{2}+\frac{C_{1}}{m}+\frac{C_{2}}{m}\]
dengan C1 dan C2 adalah konstanta.
Contoh 2:
Jika $F=-kx$ (gaya pegas) maka
\[m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx\]
Misalkan $x=Acos(\omega t+\theta )$ maka
\[\frac{dx}{dt}=-\omega ^{2}Acos(\omega t+\theta )\]
\[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega ^{2}Acos(\omega t+\theta )=-\omega ^{2}x\]
Substirusi ke dalam persamaan awal diperoleh
\[-m\omega ^{2}x=-kx\]
Atau
\[\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\]
Jadi, kebergantungan posisi terhadap waktu menjadi
\[x=Acos\left (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\theta \right )\]
Dengan $A$ dan $\theta$ adalah konstanta.
